Aufgabe 2 a

Lösen eines Gleichungssystems

Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet herauszufinden, ob beide gegebenen Gleichungen gemeinsame Werte für x und y besitzen. Es bestehen in diesem Zusammenhang folgende Eventualitäten:

1. Die Graphen der gegebenen linearen Gleichungen verlaufen parallel zu einander
2. Die Graphen der gegebenen linearen Gleichungen treffen sich in einem Punkt.

zu 1: Graphen verlaufen parallel zueinander, wenn die Steigung beider Gleichungen gleich ist

zu 2: Graphen treffen sich in einem Punkt, wenn die Steigung der beiden Gleichungen ungleich ist. Beachte: Wenn das Produkt der beiden Steigungen -1 ergibt, treffen die Graphen im rechten Winkel aufeinander.

Wie findet man nun heraus, wie die Graphen verlaufen?

Grob darf man behaupten, dass ein Graph dessen Steigung negativ ist, von links oben nach rechts unten verläuft. Ein Graph mit positiver Steigung verläuft hingegen von links unten nach rechts oben.

Besitzen die Graphen also unterschiedliche Steigungen, müssen sie sich zwingenderweise irgendwo treffen.

Gegeben ist nun eine Gleichung (oder zwei Gleichungen), die nicht in der “allgemeinen Form der Geradengleichung”in der Aufgabe steht. Was ist zu tun?

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

y=mx+b

y steht für den Funktionswert

m ist die Steigung

x ist die Variable

b ist der y-Achsenabschnitt. An diesem Wert auf der y-Achse stößt der Graph der gegebenen Gleichung durch die y- Achse.

Gegeben ist nun die Gleichung I 3x+2y=-3 und II -6x-5y=12. Schnell erkennt man die Diskrepanz zwischen der allgemeinen Form und der gegebenen Form. Hier heißt es umstellen von zumindest einer Gleichung:

I 3x  +  2y  =  -3              / :(2)

1,5x+   y   =-1,5            /-1,5x

y= -1,5x-1,5

Wenn man nun den Gedanken vom gemeinsamen Punkt, dem Schnittpunkt als Punkt, an dem beide Graphen durch den gleichen Punkt gehen wieder aufnimmt, dann wird klar, dass man eine Gleichung in die andere einsetzen kann:

-6x  -5 (-1,5x-1,5)= 12

Nun heißt es ausmultiplizieren und nach x auflösen:

-6x + 7,5x +7,5 = 12                   / Zusammenfassen

1,5x         +7,5 = 12                  / -7,5

1,5x                 =4,5                  /:1,5

x                  =3

Der einfachste Schritt folgt nun: Das Ergebnis (x=3) wird in eine der beiden Gleichungen eingesetzt und damit y ausgerechnet.

y= -1,5 (3) -1,5

y= -4,5      -1,5

y=-6

Die Lösung des Gleichungssystems ist der Punkt (3/-6)

Zum Beleg: